TEORIA DE LA DUALIDAD

Cada problema de programación lineal ( Primal ) está estrechamente relacionado con otro problema simétrico a él, denominado problema dual.

El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la programación lineal porque la distribución de los recursos y la formación de los precios son dos aspectos del mismo problema. Entonces la doble formulación de la programación lineal no se debe considerar como un simple ejercicio matemático, sino que una y otra versión del problema vienen a explicar dos aspectos económicos distintos para una misma situación problémica. Una propiedad fundamental de la relación entre el primal y el dual es que la solución óptima de cualquiera de estos problemas proporciona la solución óptima para el otro.

IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL

La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema.

Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.

RELACIONES ENTRE LOS MODELOS PRIMO Y DUAL 

1. Los coeficientes objetivos de uno son los coeficientes recurso del otro.

2. Los coeficientes recurso de uno son los coeficientes objetivo del otro.

3. La matriz de coeficientes tecnológicos de uno es la transpuesta de la matriz de coeficientes tecnológicos del otro.

4. Ambos problemas están en formato canónico, como lo comprueban más en detalle las siguientes características

4.1 El objetivo del primo es maximizar en cambio el objetivo del dual es minimizar.

4.2 Las restricciones del Primo son del tipo =, mientras que las del dual son del tipo =.

4.3 Las variables de ambos problemas están restringidas a ser mayores o iguales que cero.

¿CÓMO CONVERTIR UN PROBLEMA PRIMAL A DUAL?

Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma:

1. Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización y viceversa.

2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.

3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual.

4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual.

5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal.

6. Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables Xn del primal se convierten en nuevas variables Ym en el dual.

TABLA DE TUCKER

EJEMPLO